Algorithmische Geometrie polyedrische und algebraische by Joswig Michael, Theobald Thorsten

By Joswig Michael, Theobald Thorsten

Theobald T. Algorithmische Geometrie.. polyedrische und algebraische Methoden (de)(Vieweg, 2007)(ISBN 3834802816)

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1 ⎜ (1) h ⎜ 0 T=⎜ ⎜ .. ⎝ . (n) h0 h1 .. ··· ··· .. h1 · · · hn 0 (1) (n) ⎞ ⎛ 1 − z1 − z2 .. ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟·⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ −z (n) 0 (1) ⎟ hn .. n −1 −zn ⎞ ··· 0 0 · · · 0 0⎟ ⎟ · · · 0 0⎟ ⎟ . ⎟ .. ⎟ ⎟ 0 0 · · · 1 0⎠ 0 0 ··· 0 1 0 1 0 .. 0 0 1 Das transformierte Polyeder [ T ] P ist im positiven Orthanten enthalten. Wir betrachten eine weitere projektive Transformation, definiert durch die nichtnegative Matrix ⎛ ⎞ 1 1 1 ··· 1 1 ⎜0 1 0 · · · 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 1 · · · 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ . B = ⎜. .. ⎟ .. ⎜ .. .

0 0 0 · · · 1 0 ⎠ 0 0 0 ··· 0 1 Die Abbildung [ B] ist keine affine Transformation, statt dessen bildet sie die Fernhyperebene (1 : 0 : · · · : 0) auf die projektive Hyperebene [1 : 1 : · · · : 1] ab, wobei die Koordinatenhyperebenen fest bleiben. Zusätzlich ist das Bild des positiven Orthanten unter der Abbildung [ B] das n-Simplex E1+ ∩ · · · ∩ En+ ∩ [1 : 1 : · · · : 1]+ . Insbesondere ist das Bild [ BT ] P ein beschränktes Polyeder, also ein Polytop. Wir haben den folgenden Satz bewiesen.

49 werden wir die Anzahl der Facetten der zyklischen Polytope bestimmen. Dies liefert dann die folgende explizite obere Schranke. 43 Die Anzahl der Facetten eines n-dimensionalen Polytops mit m Ecken ist beschränkt durch ⎧ m m − n2 ⎪ ⎪ falls n gerade , ⎪ ⎪ n ⎨m − 2 m − n f n,m = ⎪ n +1 ⎪ ⎪ ⎪2 m − 2 falls n ungerade . ⎩ m−n Durch Übergang zum Dualen ergibt sich dieselbe obere Schranke für die Anzahl der Ecken eines n-Polytops mit m Facetten. 42 nicht in voller Stärke zeigen, statt dessen jedoch einen Beweis für eine obere Schranke wiedergeben, die die richtige Größenordnung für die Anzahl der Facetten zeigt.

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